پی . (اِ) مختصر کلمه ٔ یونانی پری فریا
۞ بمعنی دایره . علامتی مختار نشان دادن رابطه ٔ ثابت میان محیط دایره را با قطر آن . نسبت طول محیط هر دایره بقطر آن ، و آن تقریباً مساوی
3/14 است و آن را بدین علامت
p نمایش دهند.
تاریخ عدد ((پی )) در شرق و غرب : همچنانکه نخستین مخترع کسرهای اعشاری غیاث الدین جمشید کاشانی است ،عدد «پی » را نیز وی در رساله ٔ محیطیه با شانزده رقم اعشاری دقیق
۞ «پی » حساب کرده و دقتی که او در محاسبه بکار برده حدود دو قرن بی رقیب مانده است . با بکار بردن چهار رقم اعشاری عدد«پی » میتوان محاسباتی را که عملاً مورد احتیاج هستندبا دقت کافی انجام داد. مثلاً برای تهیه ٔ نقشه بهترین هواپیماها چهار رقم اعشاری دقیق عدد «پی » کافیست . اگر
16 رقم اعشاری عدد «پی » را بکار بریم طول دایره ای که شعاعش مساوی با فاصله ٔ زمین از خورشید باشد با خطائی کمتر از قطر یک مو بدست خواهد آمد
۞ . با سی رقم اعشاری دقیق «پی » میتوان محیط جهان مرئی را حساب کرد، بقسمی که خطای حاصل آنقدر کوچک باشد که قویترین میکرسکپهای کنونی از عهده ٔ اندازه گیری آن برنیایند
۞ . طول هر دایره متناسب با قطر آن می باشد. مساحت هر دایره متناسب با مربع شعاع آن است . در هر دو مورد ضریب تناسب عدد «پی » است که تقریباً مساوی
3/14 است . این مطلب را امروزه هر کودک دبستانی میداند، اما یونانیان برای اثبات این موضوع دو قرن صرف وقت کردند. آنتیفن
۞ که معاصر سقراط بود و از
469 تا
399 ق . م . میزیست یک مربع در دایره ای محاط کرد، سپس آن مربع را به هشت ضلعی تبدیل نمود و فکر کرد که عده ٔ اضلاع را آنقدر دو برابر کند تا وقتی برسدکه چند ضلعی حاصل عملاً بدایره منطبق شود. اقلیدس (
300 سال ق . م .) در کتاب «اصول » با دقت بیشتری روش افناء را بسط داد، یعنی عده ٔ اضلاع چندضلعی های محاطی و محیطی را دو برابر کرد و نشان داد که تفاضل محیطها رفته رفته کم میشود. روش افناء
۞ عبارت از اینست که ثابت میکنند تفاضل دو مقدار ازیک کمیت بسیار کوچک است و از آن صرفنظر میکنند. ارشمیدس (
287 تا
212 ق . م .) این نتایج را یکجا جمع کرد و آن را توسعه داد و ثابت کرد که مساحت سطح دایره مساویست با نصف حاصل ضرب شعاع آن در طول محیطش ، و نشان داد که نسبت محیط دایره بقطر آن بین دو عدد زیر محصور است :
3/14285 = 227 = 31070
و
3/14084 = 31071
برهان این مطلب در کتاب شرح عیون الحساب موسوم به کفایة اللباب فی شرح مشکلات عیون الحساب تألیف محمد باقربن محمد حسین بن محمد باقر یزدی که نوه ٔ مؤلف متن عیون الحساب است نوشته شده . (نسخه ٔ خطی آن در کتابخانه ٔ مجلس شورای ملی است ) و نیزبرهان مطلب مذکور در کتاب دانستنی های هندسه
۞ تألیف فوری مفصلاً نوشته شده است . خارج از یونان نیز در قدیم اشخاصی برای تعیین عدد «پی » کار کرده اند. در مصر مؤلف پاپیروس ریند
۞ مقدار «پی » را مساوی با:
3/1604 =25681= 2(169) = p
تعیین می کند و این عدد تقریباً مساوی است با عدد
3/1622 =
a10Ǽ =
p که براهما گوپتا (متولد
598 ق .م .) در هند برای «پی » بدست داده است . در هند اریاباتا (متولد
500 م .) مقدار دقیق
3/1416 را حساب کرده است . در چین چوشونک شیه
۞ (متولد
430 م .) ثابت کرد که عدد «پی » بین دو مقدار:
3/1415926 و
3/1415927 محصور است و مقدار تقریبی :
3/1415929 =
355133 را در محاسبات بجای «پی » بکار برد. در سال
1220 م . فیبناکسی
۞ ایتالیائی که بمصر و شام و یونان مسافرت کرده بود در کتاب «هندسه ٔ عملی » خود حدود زیر را برای «پی » معین کرد
۞ .
3/1427 < p < 3/1410
در حدود سال
1593 م . فرانسوا ویت
۞ فرانسوی محیط
393216 ضلعی را حساب کرده و یازده رقم اعشاری دقیق «پی » را بدست آورد. آدرین
۞ در سال
1593 پانزده رقم اعشاری «پی » را بدست آورد و لودلف
۞ آلمانی قسمتی از عمر خود را صرف بررسی این مسأله کرد و در
1596 م . با روشی که تقریباً همان روش ارشمیدس است
35 رقم اعشاری دقیق «پی » را بدست آورد. برحسب وصیت لودلف این
35 رقم اعشاری را روی سنگ قبرش نوشتند و هموطنانش بعد از او عدد «پی » را عدد لودلف نامیدند
۞ و از این تاریخ ببعد در اروپا برای محاسبه ٔ رقم اعشاری عدد «پی » روشهای جدیدی بکار بردند. امروزه
707 رقم اعشاری «پی » حساب شده است ، بدین معنی که در سال
1874 م . ویلیام شانکس انگلیسی
707 رقم اعشاری دقیق عدد «پی » را حساب کرد. شصت رقم اعشاری آن اینست :
3/14159265358979323846264338 p
3279502884197169399375105820974944
اینک کارهای ریاضی دانان ایرانی : در حدود سال
830 م . (
215 هَ . ق .) محمدبن موسی خوارزمی بزرگترین ریاضی دانان و منجمان دربار مأمون عباسی در کتاب جبر و مقابله ٔ خود مقادیر زیر را برای «پی » تعیین کرده است :
227 و
a10Ǽ و
6288220000 و نوشته است که مقدار اول ، یک مقدار تقریبی و دومی برای مهندسان و سومی برای منجمان است ولی ظاهراً خوارزمی این مقادیر را از هندیان اقتباس کرده است
۞ و
۞ . استاد غیاث الدین جمشید کاشانی ریاضی دان بزرگ ایرانی در سال
827 هَ . ق .
1423 م . رساله ای بنام «رساله ٔ محیطیه » در باب محاسبه ٔ نسبت محیط بقطر دایره یعنی عدد «پی » نوشته است که نسخه ٔ اصل آن بخط مصنف در کتابخانه ٔ آستانه ٔ قدس رضوی محفوظ است . این نسخه ٔ نفیس از دو جهت دارای اهمیت و ارزش فوق العاده است : نخست از جهت تاریخ ریاضیات ، زیرا موضوع این رساله محاسبه ٔ عدد «پی » بوسیله ٔ یک ریاضی دان ایرانی در سال
1423 م . است . در قسمت اول این بحث دیدیم که تا قبل از سال
1593 م . فقط
6رقم اعشاری دقیق «پی » بدست آمده بود و در حدود سال
1600 م . بود که در فرانسه یازده رقم اعشاری و دقیق ، و در آلمان
35 رقم اعشاری دقیق «پی » را حساب کردند، ولی استاد غیاث الدین جمشید در
1423 یعنی حدود دو قرن زودتر از اروپائیان
16 رقم دقیق اعشاری عدد «پی » رابدست آورد. مخصوصاً اهمیت این محاسبه و شاهکار غیاث الدین جمشید را وقتی بهتر درک خواهیم کرد که بدانیم در آن موقع محاسبات بیشتر در دستگاه شستگانی (ستینی )صورت میگرفته و بنابراین استخراج جذر و اعمال دیگر حساب بسیار مشکلتر از امروزه بوده و بعلاوه طریقه ای را که غیاث الدین جمشید برای استخراج جذر بکار برده خود ابداع کرده است . اهمیت دیگر نسخه ٔ مذکور از این جهت است که این نسخه بدست مصنف آن نوشته شده و بنابراین به هیچ روی احتمال اینکه بواسطه ٔ بیسوادی و سهل انگاری کاتبان و نسخه نویسان تصرفی در آن شده یا غلطی درآن روی داده باشد نیست . بخصوص که استاد بنا بقول خودش هریک از این محاسبات را در این رساله دو تا سه بار امتحان کرده و پس از آنکه از درستی آن اطمینان بدست آورده در زیر آن عمل علامت «صح » نهاده و صحت عملیات و اعداد را تصدیق فرموده است . چون مقدمه ٔ این رساله شامل تاریخ بسیار دقیقی از محاسبه ٔ عدد «پی » در مشرق زمین میباشد که بقلم استادی موشکاف و محقق همچون غیاث الدین نوشته شده ترجمه ٔ قسمتی از آن نقل می شود:
«... نیازمندترین مردم خدابه آمرزش و بخشش او جمشید پسر مسعودبن محمود طبیب کاشانی ملقب به غیاث الدین که خداوند حال او را نیکو بگرداند چنین میگوید: ارشمیدس ثابت کرده است که محیط دایره از سه برابر قطر آن بیشتر است و این زیادتی از
17 قطر کمتر و از
1071 آن بیشتر میباشد. تفاوت بین این مقدار مساوی
1497 است و دایره ای که قطرش
497 ذرع باشد محیطش بین یک ذرع مجهول و مشکوک است . (به اصطلاح امروز مقدار تقریبی محیطش فقط تا یک ذرع معلوم است ). و در دایره ٔ عظیمه ای که بر کره ٔ زمین فرض شود بین پنج فرسخ مجهول است زیرا قطر آن بر حسب فرسخ تقریباً پنج برابر مقدار مزبور میباشد و در دایرة البروج بین بیش از صد هزار فرسخ مجهول است و این خطاها که در مورد محیط دایره این اندازه بسیار است در مورد مساحات چه اندازه خواهد بود؟ و این از آنجهت است که ارشمیدس طول محیط نود و شش ضلعی محاط در یک دایره را استخراج کرده است و محیط آن از محیط دایره کمتر است ...». «واما ابوالوفاء بوزجانی (محمدبن یحیی بن اسماعیل بن عباس بوزجانی از مردم بوزجان ، شهرکی میان هرات و نیشابور، حاسب مشهور و صاحب استخراجات غریبه در هندسه و بزرگترین عالم ریاضی اسلام ، مولد مستهل رمضان
328 و وفات
376 هَ . ق .
/ 939 تا
986 م .) و ترقوس نیم درجه ٔ دایره ای را که قطرش
120 باشد بحساب تقریبی بدست آورده و آن را در
720 ضرب کرده و محیط هفتصد و بیست ضلعی منتظم محاطی را حساب کرده و همچنین محیط هفتصد و بیست ضلعی منتظم محیط بر دایره را نیز حساب کرده و گفته است : هرگاه قطر
120 باشد محیط
376 و کسری میشود و این کسر از
59 دقیقه و
10 ثانیه و
59 ثالثه بیشتر و از
59 دقیقه و
28 ثانیه و
54 ثالثه و
12 رابعه کمتر است ، و این در دایره ٔ عظیمه ای که بر کره ٔ زمین فرض شود تقریباً هزار ذرع میشود...». برهان صحت استخراج ابوالوفاء نیز در کتاب شرح عیون الحساب نوشته شده است .اگر اعداد فوق را بدستگاه اعشاری تبدیل و نسبت محیطرا بقطر حساب کنیم معلوم میشود که ابوالوفاء بوزجانی عدد «پی » را محصور بین دو عدد
3/14158 و
3/14155 بدست آورده است . «اما ابوریحان بیرونی و ترقوس دو درجه ای را حساب کرده و طول محیط
180 ضلعی منتظم محاطی را مساوی با (و یو نط ی مح ها) بدست آورده است ، و نصف مجموع اینها را طول محیط دایره گرفته ... و این در دایره ٔ عظیمه ای که بر کره ٔ زمین فرض شود تقریباً یک فرسخ میشود...». پس از بیان این مقدمات غیاث الدین جمشید در رساله ٔ محیطیه مینویسد: «چون این اعمال مختل بود خواستم محیط دایره را بر حسب قطر آن طوری استخراج کنم که یقین داشته باشم در دایره ای که قطرش
600000 برابر قطر زمین باشد تفاوت نتیجه ٔ حساب من با حقیقت بیک مو نرسد و یک مو عبارتست از یک ششم عرض جو معمولی و این رساله را که شامل استخراج محیط دایره است درده فصل و یک خاتمه نوشتم و آن را محیطیه نامیدم ...»در فصل اول رساله ٔ محیطیه استاد قضیه ٔ زیر را ثابت میکند: اگر روی نیمدایره ای بقطر
2R =
AB کمان دلخواه
AC را در نظر بگیریم و وسط کمان
AB راکه مکمل
AC است نقطه ٔ
D بنامیم و وتر
AD را رسم کنیم رابطه ٔ زیر برقرار است :
2-AD = (AC + AB) R
و سپس نتیجه میگیرد که اگر شعاع دایره و طول وتر
AC در دست باشد و وتر
AC را با قطر
AB جمع و حاصل را در شعاع ضرب کنیم مربع وتر
AD بدست می آید. در فصل دوم نیمدایره ای بقطر
2R =
AB را در نظر میگیرد و کمان
AC را مساوی با
60 درجه اختیار میکند و وسط کمان
BC را نقطه ٔ
D و وسط کمان
BD رانقطه ٔ
E و وسط کمان
BE را نقطه ٔ
F می نامد و میگوید از روی قضیه ای که در فصل اول ثابت شد میتوان طول وترهای
AD و
AE و
AF را بدست آورد و این عمل را تا هر جا بخواهیم میتوانیم ادامه دهیم و آنگاه وسط کمان
BF را نقطه ٔ
T می نامد و
OT را رسم میکند تا
BF را در نقطه ٔ
K قطع کند و در نقطه ٔ
T مماسی بر دایره رسم میکند تا امتداد
OF را در نقطه ٔ
Q و امتداد
OB را در نقطه ٔ
P قطع کند و میگوید اگر
BF ضلع چند ضلعی منتظم محاط در دایره باشد
PQ ضلع چندضلعی منتظم محیطی مشابه آن خواهد بود و صحت رابطه ٔ زیر را ثابت میکند:
BF - BFPQ = OK - OKR
و میگوید که
OK نصف
AF است و اگر
OK و
BF معلوم باشند از رابطه ٔ فوق میتوان
PQ یعنی ضلع چند ضلعی منتظم محیطی را بدست آورد.
در فصل سوم ثابت میکند که برای آنکه محیط دایره ای را که قطرش
600000 برابر قطر زمین باشد طوری استخراج کنیم که تفاوت بین حاصل و حقیقت از یک مو کمتر باشد کافیست که ثلث محیط را چنانکه در فصل دوم گفته شد
28 مرتبه نصف کنیم . و سپس در فصل های چهارم و پنجم
28 بار عمل مذکور در فصل دوم را انجام میدهد و به این ترتیب ضلع چند ضلعی های منتظم محاطی و محیطی را که عده ٔ اضلاعشان
80510368 باشد و همچنین محیط آنهارا حساب میکند. سرانجام دو برابر عدد «پی » را بحساب ستینی مساوی با:
و یو نط کح ا لد نا مو ید ن یعنی :
6 16 59 28 1 34درجه و دقیقه و ثانیه و ثالثه و رابعه و خامسه
51 46 14 50 و سادسه و سابعه و ثامنه و تاسعه
و در دستگاه اعشاری مساوی :
6/2831853071795865
به دست می آورد. به این حساب عدد «پی » مساوی است با:
3/1415926535897932
و این
16 رقم اعشار با
16 رقم اعشار مقدار واقعی «پی » موافق است .
این را هم ناگفته نگذاریم که شیخ بهائی در خلاصة الحساب مقدار«پی » را مساوی (
314 -
1)
4 و یا
1114*
4 بدست داده است . (از مقاله ٔ آقای ابوالقاسم قربانی در شماره ٔ
5 سال
6 مجله ٔ سخن صص
399 تا
407).