اصول اقلیدس

اصول اقلیدس \osūl-e oqlīde(o)s\، یا اصول هندسه یااصول[۱]، مهم‌ترین کتاب ریاضی سراسر تاریخ، نوشتۀ اقلیدس (ه‍ م). اصول اقلیدس مشتمل بر ۱۳ مقاله (کتاب) است، اما از دیرباز دو مقالۀ الحاقی (موسوم به مقالات ۱۴ و ۱۵) همراه این ۱۳ مقاله بوده‌اند که یکی را هوپسیکلس[۲] (اِبِسقِلاوُس، سدۀ ۲ ق‌م)، و همه یا دست‌کم بخش سوم دیگری را ایسیدروس میلتوسی[۳] یـا یکی از شاگـردانش (سـدۀ ۶ م) نوشتـه است (نک‍ : بولمـر ـ تامس، «اقلیدس»[۴]، 415, 433، «هوپسیکلس ... »[۵]، 616-617، «ایسیدروس ... »[۶]، 29). دربارۀ اصول اقلیدس روایاتی افسانه‌ای در میان مسلمانان آوازه داشته، که بر پایۀ آنها، اصول را آپولونیوسِ پِرگایی نوشته، و اقلیدس فقط ویراستار این کتاب بوده است (ابن‌ندیم، ۳۲۶، چ فلوگل، ۲۶۶، چ فؤاد سید، ۳ / ۲۰۹-۲۱۰؛ صاعد، ۱۷۹؛ ابن‌عبری، ۶۳)، حال‌آنکه امروزه در تقدم زمانی اقلیدس تردیدی نیست. موضوعات ۱۳ مقالۀ اصول اقلیدس مقالات اول تا هفتم و یازدهم با چند تعریف آغاز می‌شود. مقالۀ دهم برخلاف مقالات دیگر، به ۳ بخش تقسیم شده است که هر بخش با چند تعریف‌‌ آغاز می‌شود. هر مقالۀ اصول شماری گزاره دارد که یا قضیه‌ای است که باید حکم آن ثابت شود، یا مسئله‌ای است که در آن باید کاری انجام شود. هر دو اینها در دورۀ اسلامی «شکل» نامیده می‌شد. استدلال قضایا با عبارت «آنچه می‌بایستی ثابت کرد» (اختصار آن در زبان لاتین: Q.E.D.) و استدلال مسائل با عبارت «آنچه می‌بایستی کرد» (Q.E.F.) به پایان می‌رسد (در آثار عربی و نیز فارسی: «فهو المطلوب» و «فهو المراد»). موضوع ۶ مقالۀ نخست اصول، هندسۀ مسطحه است. مقالۀ نخست به هندسۀ نقطه‌ها، خطها، مثلثها، مربعها، و متوازی‌الاضلاعها می‌پردازد. در مقالۀ پنجم، نظریۀ کلی تناسب آمده است. در مقالۀ ششم، نظریۀ کلی تناسب در مورد شکلهای متشابه به کار می‌رود. مقالات هفتم، هشتم و نهم دربارۀ حساب هستند. مقالۀ دهم به تقسیم‌بندی پاره‌خطهای گنگ و گویا و جز آنها اختصاص دارد. این مقاله اهمیت بسیاری نزد ریاضی‌دانان یونانی و دورۀ اسلامی داشته، و به همین دلیل بیش‌از مقالات دیگر شرح و تفسیر شده است (برای تفصیل بیشتر دربارۀ محتوا و اهمیت تاریخی این مقالـه و تفسیرهای آن، نک‍ : پورنجف، جم‍‌ ). ۳ مقالۀ آخر اصول نیز به هندسۀ فضایی اختصاص دارند. مقالۀ سیزدهم با قضایایی دربارۀ ۵ چندوجهی منتظم (= اجسام افلاطونی) به پایان می‌رسد. موضوع دو مقالۀ الحاقی آخر نیز محاط‌کردن چندوجهیهای منتظم در دایره است. شیوۀ اقلیدس در نگارش اصول اقلیدس در نگارش اصول، از میـان دو روش «تحلیل» و «ترکیب» (در این باره، نک‍ : دبا، ذیل «تحلیل و ترکیب»)، غالباً روش ترکیب را در پیش گرفته است که به نظر می‌رسد نتیجۀ ناگزیر ساختار اصل موضوعی[۷] کتاب باشد. در مقالۀ نخست، پس‌از چند تعریف، ۵ اصل موضوعه، که فقط در هندسه نمود دارند، و سپس ۵ اصل متعارف یا بدیهی (بی‌نیاز از اثبات)، که در علوم دیگر نیز موضوعیت دارند، مطرح می‌شود. با «بدیهی» انگاشتن ۵ اصل موضوعه، هر قیاسی که مبتنی بر این ۱۰ اصل باشد، «برهان» یا قیاس برهانی به شمار می‌آید و بر اساس ساختار اصل موضوعی اصول، در اثبات هر قضیۀ کتاب اصول، تنها می‌توان از این ۱۰ اصل یا قضایایی که پیش‌تر بر اساس آنها اثبات شده‌اند، و در نتیجه «برهانی» به شمار می‌آیند، بهره برد. ۵ اصل‌ موضوعه اینها ست: ۱. هر دو نقطه را می‌توان با یک خط راست به هم وصل کرد؛ ۲. هر خط راست متناهی را می‌توان پیوسته به‌صورت خط راست امتداد داد؛ ۳. به هر مرکز و با هر شعاع، می‌توان دایره‌ای رسم کرد؛ ۴. همۀ زاویه‌های قائمه با یکدیگر برابرند؛ ۵. اگر خط راستی که بر دو خط راست فرود آید دو زاویۀ درونی در یک طرف خود تشکیل دهد که مجموعشان از دو قائمه (°۱۸۰) کمتر باشد، دو خط راست، اگر به‌طور نامتناهی امتداد داده شوند، یکدیگر را در طرفی تلاقی می‌کنند که در آن مجموع زاویه‌ها کمتر از دو قائمه است. اقلیدس با پذیرفتن این ۵ اصل، افزون بر آنکه مقدمات بدیهی مورد نیاز و شایستۀ به‌کارگیری در قیاسهای برهانی را فراهم می‌آورد، ویژگیهای ابزارهایی را نیز که می‌توان در این هندسه به کار برد، تعریف می‌کند. اصل اول اجازه می‌دهد تا در اثبات قضایا و حل مسائل این کتاب ابزاری را به کار گیریم که می‌تواند پاره‌خطی راست بکشد، یعنی «خط‌کش غیر مدرج» که در متون عربی مِسطَر، و در فارسی کهن ستاره نامیده می‌شود، و اصل سوم اجازه می‌دهد ابزاری را که «پرگار» نامیده می‌شود، به‌ کار گیریم. پس، تنها ابزارهایی کـه در این «هندسه» ــ کـه بعدها «هندسۀ اقلیدسی» نامیـده شد ــ می‌توان به کار برد، ستاره و پرگار است و مسئله‌ای در هندسۀ اقلیدسی قابل حل به شمار می‌آید که در آن به ابزاری جز این دو نیاز نباشد. اصل چهارم در واقع «اصل انتقال» هندسۀ اقلیدسی است. اصل پنجم، یا اصل توازی، امروزه به‌گونه‌ای دیگر بیان می‌شود که درکش را ساده‌تر و بیانش را نیز شبیه بیان ۳ اصل نخست می‌کند: «از یک نقطۀ خارج یک خط، می‌توان یک خط و تنها یک خط به‌موازات آن خط رسم کرد». این اصل که در دورۀ اسلامی از آن با عباراتی چون «مصادرۀ توازی» و گاه «مصادرۀ مشهور اقلیدس» یاد می‌شد، راه هندسۀ اقلیدسی و هندسه‌های نااقلیدسی را از یکدیگر جدا می‌کند. از همان روزگار باستان، انگیزه‌ای قوی در میان ریاضی‌دانان وجود داشت که شاید بتوان«گزارۀ توازی» را بر پایۀ اصول دیگر اثبات کرد که در این صورت، این گزاره از شمار اصلها خارج می‌شد و «قضیه» به‌ شمار می‌آمد. بسیاری از ریاضی‌دانان یونانی و مسلمان کوشیدند تا اصل توازی را بر پایۀ ۴ اصل دیگر اثبات کنند. اما همۀ آنها در ضمن این فرایند، آگاهانه یا ناآگاهانه، گزاره‌های دیگـری را که منطقاً معادل گزارۀ توازی بود، پذیرفتند (نک‍ : ه‍‌ ‌د، توازی، اصل؛ برای تفصیل بیشتر، نک‍ : کرامتی، «ریاضیات ... »، ۷۴۹-۷۶۴). سهم اقلیدس در آفرینش اصول سهم اقلیدس را در بنیان‌گذاری هندسه‌ای که بعدها «اقلیدسی» نامیده شد، می‌توان به‌خوبی از قضاوت پروکلوس (۴۱۰- ۴۸۵ م) دریافت: «اقلیدس بسیاری از قضایای اِئودُکسوس را منظم کرد، بسیاری از قضایای تِئایتِتوس را کامل نمود، و نیز چیزهایی را که اسلاف او با سرهم‌بندی ثابت کرده بودند، با استدلالهای کامل و بی‌نقص، اثبات کـرد» (بولمـر ـ تامس، «اقلیدس»، 414). به‌گفتۀ بـرخی شارحان اصول، شالودۀ کتاب پنجم را ائودکسوسِ کنیدوسی ریخته است؛ اما آنها نیز انتساب این کتاب به اقلیدس را نادرست نخوانده، و تصدیق کرده‌اند که نظم بی‌نظیر موجود در اصول کار خود اقلیدس است (همان، 423-424). شرحها و بازنگاریهای یونانی اصول نخستین شرح اصول از آنِ هـِرون (ایرِن) اسکندرانی (سدۀ ۱ م) بوده، و فُرفوریوس (ح ۲۳۲-۳۰۴ م) نیز شرحی بر این کتاب داشته است. از این دو شرح تنها از طریق شرح مهم نیریزی آگاهی داریم. پاپوس نیز شرحی گویا بر تمام اصول نوشته بوده، که امروزه فقط ترجمۀ عربی ابوعثمان دمشقی از مقالۀ دهم این شرح در دست است (نک‍ : ه‍‌ د، پاپوس؛ ابن‌ندیم، ۳۲۵، ۳۲۸، چ فلوگل، ۲۶۶، ۲۶۹، چ فؤاد سید، ۳ / ۲۰۸، ۲۱۸؛ قفطی، ۶۵، ۹۹-۱۰۰؛ حاجی‌خلیفه، ۱ / ۳۸۳، ۵ / ۶۲). پروکلوس نیز شرحی مفصل بر مقالۀ نخست اصول نوشته است که از مهم‌ترین منابع ما دربارۀ اقلیدس و پیشینیان او به شمار می‌آید. از شرح سیمپلیکیوس (سَنبَلیقیوس) بر مقدمات اصول اقلیدس نیز فقط به‌واسطۀ شرح نیریزی آگاهی داریم (مرداک، 437؛ قربانی، ۵۱۴). در سدۀ ۴ م، تِئـون (در مآخذ عربی: ثـاون) اسکندرانی (نک‍ : ه‍ د، تئون) اصول اقلیدس را بازنگاری کرد و مطالب بسیاری بدان افزود. اغلب نسخه‌های خطی روایت یونانی مبتنی بر همین روایت تئون است. اما روایت یونانی یکی از دست‌نوشته‌های موجود در واتیکان که اساس کار هایبرگ در مهم‌ترین چاپ اصول اقلیدس قرار گرفت، قطعاً کهن‌تر از روایت تئون است. چاپ هایبرگ اساس همۀ ترجمه‌ها و چاپهای بعدی، ازجمله ترجمۀ یونانی به انگلیسی تامس هیث، بوده است. اصول اقلیدس در دورۀ اسلامی یکی از مهم‌ترین رسالاتی که در دورۀ اسلامی دربارۀ این کتاب نوشته شده، رسالة فی العلة التی رتب اقلیدس اشکال کتابه ذلک الترتیب نوشتۀ ثابت بن قرّه (ه‍ م) است. وی در این رساله (که ظاهراً از میان رفته) کوشیده است تا ساختار و نظم موجود در کتاب اصول اقلیدس را توضیح دهد. کندی نیز رساله‌ای با نام اغراض کتاب اقلیدس نگاشته، که منشأ افسانه‌هایی دربارۀ مؤلف اصول بوده است. ترجمه‌های عربی اصول مسعودی و ابن‌خلدون به ترجمۀ اصول اقلیدس در روزگار منصور عباسی اشاره کرده‌اند، اما ابن‌ندیم از ۳ ترجمۀ عربی دیگر نیز سخن می‌گوید: دو ترجمه از حجاج بن یوسف ابن مطر، یکی در روزگار هارون (حک‍ ۱۷۰-۱۹۳ ق / ۷۸۶- ۸۰۹ م) و دیگری در روزگار مأمون (حک‍ ۱۹۸- ۲۱۸ ق / ۸۱۴-۸۳۳ م)، که به هارونی و مأمونی معروف شدند، و سومی ترجمۀ اسحاق بن حنین (۲۱۵- ۲۹۸ ق / ۸۳۰ -۹۱۱ م) که ثابت بن قره (۲۲۱- ۲۸۸ ق / ۸۳۶ -۹۰۱ م) آن را اصلاح کرده است (نک‍ : ص ۳۲۵، چ فلوگل، ۲۶۶، چ فؤاد سید، ۳ / ۲۰۸؛ قفطی، ۹۷؛ نک‍ : دبا، ۱۵ / ۲۲). شماری از مهم‌ترین شرحها، تفسیرها، اصلاحها و تحریرهای اصول ۱. عباس بن سعید جوهری (اواخر سدۀ ۲- اوایل سدۀ ۳ ق): اصلاح لکتاب اقلیدس، از منابع نصیرالدین طوسی در الرسالة الشافیة بوده، و بخشی از آن مربوط به اثبات گزارۀ توازی اقلیدس است؛ زیادات فی المقالة الخامسة (به فارسی نیز ترجمه شده است؛ دیانگ، ۱-۲۴). ۲. ابو عبدالله محمد بن عیسى ماهانی (ح ۲۱۰-۲۷۵ ق / ۸۲۵ - ۸۸۸ م): تفسیر المقالة العاشرة من کتاب اقلیدس (قربانی، ۴۲۳-۴۲۴). ۳. ابوالعباس فضل بن حاتم نیریزی (د ح ۳۱۰ ق / ۹۲۲ م): شرح کتاب اصول اقلیدس براساس ترجمۀ دوم حجاج، از مهم‌ترین شرحهای اصول که ۱۰ مقالۀ نخست آن را گویا گِراردوس کرِمونایی در سدۀ ۱۲ م به لاتین ترجمه کرده است؛ رسالة فی بیان المصادرة المشهورة لاقلیدس (نک‍ : ه‍ ‌د، توازی، اصل؛ نیز قربانی، ۵۱۳). ۴. ابوالقاسم علی بن اسماعیل نیشابوری: تحریر اصول اقلیدس. این اثر، کهن‌ترین بازنگاری اصول اقلیدس است که در عنوانش واژۀ «تحریر» به کار رفته است (کرامتی، «تحریر اقلیدس (نیشابوری)»، ۲۸۸-۲۸۹). ۵. ابن‌هیثم (۳۵۴-۴۳۰ ق / ۹۶۵- ۱۰۳۹ م): حل شکوک کتاب اقلیدس فی الاصول و شرح معانیه؛ شرح مصادرات اقلیدس. ۶. ابوریحان بیرونی (۳۶۲-۴۴۰ ق / ۹۷۳- ۱۰۴۸ م): ترجمۀ اصول اقلیدس از عربی به سانسکریت (مفقود). ۷. عمر خیام (د میان ۵۱۵- ۵۱۷ ق / ۱۱۲۱-۱۱۲۳ م): شرح ما اشکل من مصادرات اقلیدس، در ۳ مقاله. این رسالۀ بسیار مهم چند بار به چاپ رسیده، و به شماری از زبانهای اروپایی ترجمه شده است (نک‍ : ه‍‌ د، توازی، اصل). ۸. اثیرالدین ابهری (د ح ۶۶۳ ق / ۱۲۶۵ م): اصلاح اصول اقلیدس. دست‌نویس شمارۀ ۵۴۰ مدرسۀ سپهسالار تهران که به‌عنوان نسخه‌ای از این اثر یاد شده، نسخه‌ای از تحریر اصول چاپ رم است (نک‍ : ه‍ ‌د، توازی، اصل). ۹. نصیرالدین طوسی (۵۹۷-۶۷۲ ق / ۱۲۰۱-۱۲۷۳ م): تحریر اقلیدس یا تحریر اصول اقلیدس تألیف ۶۴۶ ق / ۱۲۴۸ م. این اثر مهم‌ترین بازنگاری روایت عربی اصول هندسۀ اقلیدس است. ریاضی‌دانان دورۀ اسلامی که پژوهش در باب اصول هندسۀ اقلیدس را به‌سان سنتی کهن پی می‌گرفتند، با پدیدآمدن این تحریر، به‌جای مراجعه به ترجمه‌های اصلی، پژوهشهای خود را بر روایت بازنگاری‌شدۀ نصیرالدین متمرکز کردند. دست‌کم ۹ شرح و حاشیه بر این تحریر نوشته شده، و دست‌کم ۵ یا ۶ بار نیز تمام یا بخش مهمی از آن به فارسی ترجمه شده است. در سدۀ ۱۲ ق / ۱۸ م نیز جگناته سمراط[۸] تحریر اقلیدس را به سنسکریت ترجمه کرد (نک‍ : کرامتی، «جایگاه ... »، ۵۶-۷۳، «تحریر اقلیدس (طوسی)»، ۲۸۶- ۲۸۸؛ نیز ه‍ ‌د، تحریر اقلیدس). دیگر رسالۀ مهم نصیرالدین طوسی در این باره، الرسالة الشافیة عن الشک فی الخطوط المتوازیة نام دارد (نک‍ : ه‍ ‌د، توازی، اصل). ۱۰. تحریر اقلیـدس، از نویسنـده‌ای ناشناس: این تحریر در ۱۵۹۴ م در چاپخانۀ مدیچی رم به‌اشتباه با عنوان تحریر اقلیدس نصیرالدین به‌‌ چاپ رسید. بسیاری از مطالبی که دانشمندان اروپایی به‌عنوان نظریات نصیرالدین طوسی نقل کرده‌اند، در واقع برگرفته از این چاپ بود (کرامتی، «جایگاه»، ۶۴-۷۱، «تحریر اقلیدس (چ رم)»، ۲۸۵-۲۸۶). ۱۱. شمس‌الدین سمرقندی: اشکال التأسیس فی الهندسة (تألیف ۶۷۵ ق / ۱۲۷۶ م) دربارۀ ۳۵ شکل (= قضیه و اصل موضوع) از کتاب اصول اقلیدس (قربانی، ۲۷۵-۲۸۶). ۱۲. قطب‌الدین شیرازی (۶۳۴-۷۱۰ ق / ۱۲۳۷-۱۳۱۰ م): تحریر اقلیدس به فارسی. قطب‌الدین این اثر را در شعبان ۶۸۱ (در بعضی نسخ: ۶۸۰) به پایان رسانده است و در فاصلۀ ۶۹۳-۷۰۵ ق همین اثر را، با حذف دیباچه و تغییراتی بس اندک، با عنوان فن اول از جملۀ چهارم (=ریاضیات) دانشنامۀ پرآوازۀ خود، درة التاج‌ لغرة الدباج، به دباج بن فیلشاه بن رستم، فرمانروای گیلان، هدیه کرده است. قطب‌الدین نه‌تنها اشاره‌ای به بهره‌گیری از تحریر خواجه ندارد، بلکه سخن وی در دیباچۀ تحریر اقلیدس فارسی (و نیز آغاز «فن» اول از جملۀ چهارم درة التاج) چنان است که گویی خود به دست‌نویسهای دو ترجمۀ عربی و شرحهای اصول اقلیدس مراجعه کرده است. میان متن عربی تحریر خواجه و عبارات فارسی قطب‌الدین شباهت بسیار وجود دارد و بسیار بعید است که این‌یک هنگام ترجمۀ اصول اقلیدس، نظری به کار آن‌یک نیفکنده باشد، اما شمار تفاوتهای چشمگیر نیز کم نیست (برای تفصیل، نک‍ : کرامتی، «درة التاج»، جم‍ ). ۱۳. محمدباقر یزدی (زنده در ۱۰۴۷ ق / ۱۶۳۷ م): شرح المقالة العاشرة من تحریر اصول اقلیدس که در آن جمله‌هایی از مقالۀ دهم تحریر نصیرالدین طوسی را نقل، و سپس شرح کرده است. متن عربی این اثر همراه با ترجمه، شرح و پژوهش شرح آن به فارسی، و نیز متن تصحیح‌شدۀ مقالۀ دهم تحریر اقلیدس طوسی، در ضمن پایان‌نامۀ زهرا پورنجف، در پژوهشکدۀ تاریخ علم دانشگاه تهران در ۱۳۹۲ ش منتشر شده است. ۱۴. محمدمهدی فرزند محمدحسن حسینی منجم: ترجمۀ تحریر طوسی که به ناصرالدین شاه اهدا شده است. ۱۵. فرهاد میرزا معتمدالدوله (شاهزادۀ فرهیختۀ قاجار و معاصر ناصرالدین شاه): ترجمۀ فارسی تحریر طوسی. مآخذ ابن‌عبری، غریغوریوس، تاریخ مختصر الدول، به‌کوشش انطون صالحانی، بیروت، ۱۸۹۰ م؛ ابن‌ندیم، الفهرست؛ همان، به‌کوشش ایمن فؤاد سید، لندن، ۱۴۳۰ ق / ۲۰۰۹ م؛ همان، به‌کوشش گوستاو فلوگل، لایپزیگ، ۱۸۷۲ م؛ پورنجف، زهرا، ویرایش، ترجمه و شرح «شرح مقالۀ دهم اصول اقلیدس»، تألیف محمدباقر یزدی، پایان‌نامۀ کارشناسی ارشد تاریخ علم، پژوهشکدۀ تاریخ علم دانشگاه تهران، ۱۳۹۲ ش؛ حاجی‌خلیفه، کشف الظنون، به‌کوشش گوستاو فلوگل، لندن، ۱۸۳۵- ۱۸۵۸ م؛ دبا؛ صاعد اندلسی، التعریف بطبقات الامم، به‌کوشش غلامرضا جمشیدنژاد اول، تهران، ۱۳۷۷ ش؛ قربانی، ابوالقاسم، زندگی‌نامۀ ریاضی‌دانان دورۀ اسلامی، تهران، ۱۳۷۵ ش؛ قفطی، علی، تاریخ الحکماء، به‌کوشش یولیوس لیپرت، لایپزیگ، ۱۳۲۱ ق / ۱۹۰۳ م؛ کرامتی، یونس، «تحریر اقلیدس (چاپ رم)»، فرهنگ آثار ایرانی- اسلامی، به‌کوشش احمد سمیعی گیلانی و دیگران، تهران، ۱۳۸۷ ش؛ همو، «تحریر اقلیدس (طوسی)»، همان؛ همو، «تحریر اقلیدس (نیشابوری)»، همان؛ همـو، «جایگاه تحریر اصول اقلیدس نصیرالدین طوسی در ریاضیات دورۀ اسلامی و ارتباط آن بـا تحریر اقلیدس چـاپ‌شده در رم»، استـاد بشر (مجموعـه ‌مقـالات منتخب همایش ملـی گرامیداشت خواجه نصیرالدین طوسی)، تهران، ۱۳۹۲ ش؛ همو، «درة التـاج لغـرة الدباج»، دانشنامۀ زبـان و ادب فارسی، بـه‌کوشش اسماعیل سعادت، تهران، ۱۳۸۸ ش؛ همو، «ریاضیات از منظر فیلسوف: نگاهی به شیوۀ نصیرالدین طوسی در برخورد با مسائل ریاضی»، خواجه‌پژوهی، به‌کوشش عبدالله صلواتی، تهران، ۱۳۹۰ ش؛ نیز: Bulmer-Thomas, I., «Euclid», Dictionary of Scientific Biography, ed. Ch. C. Gillispie, New York, 1971, vol. IV; id, «Hypsicles of Alexandria», ibid, vol. VI; id, «Isidorus of Miletus», ibid, vol. VII; De Young, G., «A Persian Translation of Al-Jawhari’s Addition to Elements, Book V», Tarikh-e Elm, 2008-2009, no. VII; Murdoch, J., «Euclid: Transmission of the Elements», Dictionary of Scientific Biography, ed. Ch. C. Gillispie, New York, 1971, vol. IV. یونس کرامتی نظر دهید